Принцип неподвижной точки
Ключевые слова:
неподвижная точка, теорема Банаха, теорема Брауэра, теорема Шаудера, сжимающие отображения, равновесие Нэша, метод последовательных приближенийАннотация
Принцип неподвижной точки — это краеугольный камень современной математики, объединяющий теорию и практику в областях от топологии до экономики. В статье исследуются ключевые теоремы (Банаха, Брауэра, Шаудера), их доказательства, обобщения и приложения. Подробно рассмотрены методы поиска неподвижных точек, включая итерационные алгоритмы и топологические подходы. Особое внимание уделено роли принципа в решении дифференциальных уравнений, теории игр, оптимизации и машинном обучении. Материал дополнен историческими экскурсами, примерами из физики, экономики и компьютерных наук, а также анализом современных тенденций. Статья предназначена для математиков, исследователей и студентов, стремящихся понять универсальность и мощь этого принципа.
Библиографические ссылки
Бицадзе А. В. 1972. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М., Наука, 264.
Гранас А., Дугунджи Дж. 2003. Теория неподвижных точек. Нью-Йорк, Springer, 690.
Зейдлер Э. 1986. Нелинейный функциональный анализ и его приложения. Т. 1: Теоремы о неподвижных точках. Берлин, Springer, 897.
Мункрес Дж. Р. 2000. Топология. Нью-Джерси, Prentice Hall, 537.
Шаудер Ю. 1930. Теорема о неподвижной точке в функциональных пространствах. Studia Mathematica, 2, 171–180.
Дениллинг К. 1985. Нелинейный функциональный анализ. Берлин, Springer, 450.
Кирк У. А., Симс Б. 2001. Справочник по метрической теории неподвижных точек. Берлин, Springer, 703.
Нош Дж. 1950. Равновесие в теории игр. Proceedings of the National Academy of Sciences, 36(1), 48–49.
Смарт Д. Р. 1980. Теоремы о неподвижных точках. Кембридж, Cambridge University Press, 112.
